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    Geometria Birazionale delle Varieta' Algebriche

    Corso di Dottorato, a.a. 2013/2014, settembre-ottobre 2014, 20-24 ore.

    Docente: Cinzia Casagrande.

    Si tratta di un corso avanzato di geometria algebrica. Lo scopo e' di arrivare a parlare di geometria birazionale delle varieta' proiettive complesse, ma buona parte del corso sara' dedicata all'introduzione di tecniche e nozioni di base in geometria algebrica. Durante il corso verranno assegnati esercizi, il cui svolgimento e' propedeutico alla comprensione degli argomenti.

    Prerequisiti: un corso introduttivo di Geometria Algebrica, come quello della Laurea Magistrale in Matematica di Torino. In particolare, saranno date per buone le nozioni di varieta' algebrica quasi-proiettiva (complessa), morfismi e applicazioni razionali, non-singolarita' e dimensione, fasci e successioni esatte di fasci. Sara' anche data per buona l'algebra multilineare (prodotti tensoriali, potenze esterne e simmetriche).

    Scaletta del corso:

    Introduzione al corso: di cosa parleremo, dove vogliamo arrivare.
    Richiami su coomologia di fasci: coomologia di Cech, fasci coerenti, proprieta' della coomologia di fasci coerenti su varieta' algebriche complesse.
    Corrispondenza tra fibrati vettoriali e fasci localmente liberi, fibrati lineari e fasci invertibili, gruppo di Picard e interpretazione coomologica tramite cocicli. Esempio: fibrati lineari su P1 e sezioni globali.
    Divisori di Weil, ordine di una funzione razionale lungo un divisore primo, divisori principali, divisori di Cartier, equivalenza lineare tra divisori. Fascio invertibile associato a un divisore di Cartier, gruppo di Picard come quoziente di Div(X) modulo il sottogruppo dei divisori principali. Esempi. Gruppo di Picard dello spazio proiettivo.
    Grado di un divisore su una curva, omomorfismo indotto sul gruppo di Picard. Richiami su tori complessi e varieta' abeliane. Successione esponenziale per una varieta' proiettiva liscia, analisi della successione esatta in coomologia. Caso delle curve. Caso generale: varieta' di Picard, gruppo di Neron-Severi, numero di Picard.
    Fibrato canonico, n-forme razionali, divisore canonico. Caso delle curve. Dualita' di Serre.
    Piccola digressione sulla coomologia delle varieta' proiettive complesse lisce: forme di tipo (p,q), decomposizione di Hodge, numeri di Hodge e proprieta' di simmetria, conseguenze per i numeri di Betti, diamante di Hodge, esempi.
    Richiami sulle mappe birazionali. Invarianza birazionale dei numeri di Hodge h0,q. Varieta' razionali. Esempi: P1xP1, quadriche. Ipersuperfici cubiche e razionalita'.
    Varieta' normali e normalizzazione.
    Intersezione tra un divisore e una curva, 1-cicli, equivalenza numerica per divisori e 1-cicli, spazi vettoriali N1(X) e N1(X), cono dei divisori effettivi e delle curve effettive. Esempi.
    Divisori e mappe nello spazio proiettivo. Divisori senza punti base, molto ampi e ampi. Esempi. Criterio di ampiezza di Kleiman. Richiami sulla dualita' tra coni chiusi e convessi in spazi vettoriali reali. Divisori nef, cono nef, cono ampio. 
    Anelli delle sezioni. Divisori semiampi, big, dimensione di Iitaka di un divisore. Divisori con algebra delle sezioni finitamente generata.
    Plurigeneri, anello canonico, dimensione di Kodaira di una varieta'. Il caso delle curve. L'anello canonico e' sempre un'algebra finitamente generata; modello canonico.
    Applicazioni birazionali e scoppiamenti.
    Varieta' unirigate, varieta' di tipo generale. Perche' e' speciale avere canonico nef, varieta' minimali. Caso delle curve. Caso delle superfici (overview). Contrazioni estremali, classificazione in dimensione 2.

    Calendario delle lezioni

    Il corso consistera' in 10-12 lezioni di due ore, due lezioni alla settimana, a settembre e nelle prime settimane di ottobre. Le ultime lezioni sono da confermare. Si pregano gli studenti che avessero problemi con l'orario di contattare il docente.

    mercoledi' 3/9, 11-13, aula 2
    venerdi' 5/9, 11-13, aula 2
    lunedi' 8/9, 9.30-11.30, aula 2
    giovedi' 11/9, 11-13, aula 2
    lunedi' 15/9, 11-12.30, aula 1
    giovedi' 18/9, 10.30-13, aula 3
    lunedi' 22/9, 11-13, aula 1
    mercoledi' 24/9, 11-13, aula 2
    lunedi' 29/9, 11-13, aula C
    giovedi' 2/10, 11-13, aula 1
    martedi' 7/10, 9-11, aula 3
    giovedi' 16/10, 9-11, aula 2
    lunedi' 27/10, 11-13, aula 2

    Testi di riferimento

    Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, volumi 1 e 2
    Hartshorne, Algebraic Geometry
    Huybrechts, Complex Geometry

    Debarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry
    Matsuki, Introduction to the Mori Program
    Lazarsfeld, Positivity in Algebraic Geometry, volumi 1 e 2

    Modalita' di esame: l'esame consistera' nello svolgimento di alcuni esercizi da consegnare dopo la fine del corso, e in un seminario su un argomento concordato con lo studente.

  • 3 settembre, 11-13

    Introduzione al corso. Equivalenza birazionale, risoluzione delle singolarita'. Caso delle curve: due curve proiettive lisce sono isomorfe se e solo se sono birazionali. Genere topologico di una curva proiettiva liscia.
    Richiami su coomologia di fasci: proprieta' algebriche. Fasci costanti, fasci di O-moduli, fasci localmente liberi e coerenti. Proprieta' della coomologia di fasci coerenti su varieta' algebriche complesse, caso affine e caso proiettivo. Cenni sui teoremi GAGA.

  • 5 settembre, 11-13

    Coomologia di Cech, richiami ed esempi. Riferimenti per fasci e coomologia: Hartshorne; Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces, cap. IX, X, XI.
    Fibrati vettoriali su varieta' algebriche: definizione, prime proprieta', morfismi, funzioni di transizione. Esempi: fibrati lineari su P1. Corrispondenza biunivoca tra classi di isomorfismo di fibrati lineari e H1(X,O*). Sezioni di un fibrato. Il fascio delle sezioni di un fibrato vettoriale e' un fascio localmente libero. Morfismi di fibrati inducono morfismi tra i fasci delle sezioni. Corrispondenza biunivoca tra classi di isomorfismo di fibrati vettoriali di rango r e classi di isomorfismo di fasci localmente liberi di rango r. Riferimenti: Shafarevich, vol. 2, cap. VI, sezioni 1.2 e 1.3.

  • 8 settembre 9.30 -11.30

    Operazioni su fibrati vettoriali definite tramite le matrici di transizione: somma diretta, prodotto tensoriale, determinante, fibrato duale. Gruppo di Picard delle classi di isomorfismo di fibrati lineari, rispetto al prodotto tensoriale. Cenni sulle stesse operazioni definite sui fasci. Gruppo di Picard come gruppo delle classi di isomorfismo di fasci invertibili, com il prodotto tensoriale.
    Divisori di Weil, divisori primi, divisori effettivi, supporto. L'anello locale in un punto liscio e' un UFD. Se l'anello locale e' UFD, l'ideale di un divisore primo nell'anello locale e' principale. Ordine di una funzione razionale lungo un divisore primo. Divisore principale associate a una funzione razionale. Esempi.
    Riferimenti sui divisori: Shafarevich vol. 1, cap. III, par. 1 e vol. 2, cap. VI, par. 1.4.

  • 11 settembre, 11-13

    Osservazioni sul prodotto tensoriale di fasci: differenza tra prefascio e fascio associato, esempi.
    Divisori di Cartier. Su una varieta' liscia, ogni divisore di Weil e' di Cartier. Divisori linearmente equivalenti. Fascio invertibile associato a un divisore di Cartier. Il gruppo di Picard e' isomorfo al gruppo delle classi di equivalenza lineare di divisori di cartier. Grado di un divisore in Pn, il gruppo di Picard di Pn e' isomorfo a Z. Esempio: la successione esatta di fasci data dalle funzioni che si annullano in un punto su una curva liscia.

  • 15 settembre, 11-12.30

    Pull-back di fibrati vettoriali e divisori di Cartier, omomorfismo indotto tra i gruppi di Picard.
    Grado di un divisore su una curva proiettiva liscia X, un divisore principale ha grado nullo. Il grado induce un omomorfismo suriettivo da Pic(X) a Z; varieta' di Picard (jacobiana di X) Pic0(X). Piccola digressione su tori complessi, varieta' abeliane, gruppi algebrici. La jacobiana di X e' una varieta' abeliana di dimensione g. Mappa di Abel-Jacobi, iniettivita' per g>0. Nel caso g=1, la mappa di Abel-Jacobi da' un isomorfismo tra X e la sua jacobiana.

  • 18 settembre, 10.30-13

    Successione esponenziale per una varieta' proiettiva liscia, successione esatta lunga associata. Caso delle curve, caso di dimensione arbitraria. Prima classe di Chern di un fibrato lineare o di un divisore. Gruppo di Neron-Severi e numero di Picard. Varieta' di Picard; la varieta' di Picard e' una varieta' abeliana di dimensione h1(O). Caso dello spazio proiettivo.
    Fibrati vettoriali tangente e cotangente, forme differenziali regolari e razionali. Divisore canonico associato a una n-forma razionale. Esempi. I divisori canonici formano una classe di equivalenza lineare, il cui fascio associato e' il fascio canonico.
    Referenze: Shafarevich, vol. 1, cap. III, par. 5.3.

  • 22 settembre, 11-13

    Grado del divisore canonico su una curva liscia. Il fibrato tangente di un toro complesso e' banale. Dualita' di Serre. Digressione sulla coomologia delle varieta' complesse lisce: decomposizione di Hodge, proprieta' e simmetrie dei numeri di Hodge, conseguenze sui numeri di Betti, diamante di Hodge (referenza: Huybrechts). Esempi.

  • 24 settembre, 11-13

    Un'applicazione razionale da una varieta' liscia in una varieta' proiettiva e' regolare in codimensione 1. Applicazioni birazionali. Invarianza birazionali dei numeri di Hodge h0,p per varieta' proiettive lisce. Varieta' razionali. Esempi: quadriche. Ipersuperfici cubiche: breve panoramica delle proprieta' note e dei problemi aperti riguardo alla razionalita'.
    Domini integralmente chiusi: richiami ed esempi.

  • 29 settembre 11-13

    Cenni sulle varieta' normali e sulla normalizzazione.
    Intersezione tra un divisore e una curva, equiva;lenza numerica per divisori di cartier e 1-cicli. Un divisore e' numericamente banale se e solo se la sua prima classe di Chern e' di torsione. Spazi vettoriali N1(X) e N1(X) delle classi di equivalenza numerica di divisori e 1-cicli. Esempi: lo spazio proiettivo, P1xP1.

  • 2 ottobre 11-13

    Forma di intersezione su superfici, ancora sull'esempio P1xP1.
    Fasci generati dalle sezioni globali, caso dei fasci invertibili. Punti base di un divisore. Mappa razionale in uno spazio proiettivo associata a un divisore. Esempio: mappe di Veronese. Sistema lineare associato a un divisore D; corrispondenza biunivoca con il proiettivizzato dello spazio vettoriale delle sezioni globali di O(D). Divisori molto ampi e ampi.

  • 7 ottobre 9-11

    Ampiezza e grado per divisori su curve.
    Anello delle sezioni di un divisore, definizione ed esempi. Richiami sull'anello delle coordinate di una varieta' proiettiva. Relazione tra anello delle coordinate e anello delle sezioni di O(1) nel caso di una varieta' immersa. Se D e' molto ampio, allora R(X,D) e' una k-algebra finitamente generata e X=ProjR(X,D). Relazione tra R(X,D) e le immagini delle mappe associate a mD per m grande.

  • 16 ottobre 9-11

    Invarianza birazionale dei plurigeneri per varieta' proiettive lisce. Anello canonico e modello canonico; invarianza birazionale; caso delle curve. L'anello canonico e' una k-algebra finitamente generata. Dimensione di Kodaira, definizione ed esempi. Varieta' unirigate. Essere unirigate e' una proprieta' invariante per equivalenza birazionale. Differenza tra varieta' razionali e varieta' unirigate. Le varieta' unirigate hanno dimensione di Kodaira negativa. Congettura dell'abbondanza.

  • 27 ottobre, 11-13

    Scoppiamento di una superficie in un punto, (-1)-curve, criterio di contraibilita' di Castelnuovo. Divisori nef. Una varieta' proiettiva liscia con canonico nef si dice minimale. Una superficie minimale non contiene (-1)-curve. Esistenza di contrazioni estremali su varieta' con canonico non nef. Classificazione delle contrazioni estremali su una superficie liscia. Overview del MMP in dimensione 2.

  • Seminari finali

    Martedi' 24/2/2015, h 10, aula 4
    Eleonora Romano: Fibrazioni semiampie e fibrazione di Iitaka

    Lunedi' 13/4/2015, h 11 aula 1 
    Maria Anna Raspanti: Superfici cubiche di P^3