Abbiamo discusso il metodo dell'equilibrio dominante per comprendere il comportamento delle soluzioni di un'equazione differenziale (lineare omogenea, negli esempi visti) intorno a una singolarita` irregolare.
Come primo esempio abbiamo visto come dedurre i due possibili comportamenti delle soluzioni dell'equazione di Airy y''(x) = x y(x) per x->+ infinito.
Nel caso dell'equazione di Airy, l'equilibrio dominante a infinito e` dato da (S')^2 ~ x , con |S''|<< (S')^2, dove S(x) = Log[ y(x) ]. Abbiamo visto come verificare che altre possibili ipotesi per l'equilibrio dominante portano (in questa equazione, in questo limite) a delle inconsistenze.
Abbiamo visto cosa cambia espandendo invece per x -> - infinito.
Abbiamo visto come calcolare successivi ordini sottodominanti dell'espansione di S(x) = Log[y(x) ], iterando il metodo. Abbiamo discusso come sia necessario calcolare l'espansione di S(x) fino a quando non si trovino termini asintoticamente piccoli, per poter fissare il "fattore di controllo" del comportamento asintotico di y(x). Ad esempio, nel caso dell'equazione di Airy a x_>+oo, e` necessario calcolare S(x) ~ +- 2/3 x^(3/2) -1/4 Log[x] + O(x^(-3/2) ), in modo da poter concludere che y(x) ~ exp( +- 2/3 x^(3/2) )/x^(1/4) .
Abbiamo notato come, per espansione intorno a punti fuchsiani (o punti che siano legati a punti fuchsiani da un cambio di variabile), si abbia, come ordine di grandezza, un tipico equilibrio dominante, della forma (S')^2 ~ S'', che implica un andamento logaritmico per S(x) nel punto in questione.
Abbiamo poi discusso un esempio di equazione che presenta due equilibri dominanti ancora diversi. Questo secondo esempio e` costituito dall'equazione x^2 y''(x) + (1+ 3 x) y'(x) +y(x) = 0, di cui abbiamo studiato l'espansione per x->0^+. In questo caso, ci sono due scelte indipendenti, entrambe consistenti, di equilibrio dominante. Definendo S(x) = Log[y(x)], nel primo caso S' ~ 1 , che porta a una soluzione data da una serie in potenze di x, y(x) ~ 1 - x + .... (serie asintotica, non convergente). Nel secondo caso x^2 (S')^2 ~-S' , che porta a una soluzione con andamento y(x) = exp[ 1/x ]/x (1 + ....)