-- Purtroppo per un problema tecnico non e` stata salvata la registrazione di questa lezione --
[E` STATA AGGIORNMATA SULLE NOTE LA PARTE SULLE FUNZIONI DI GREEN ]
In questa lezione abbiamo studiato problemi ai valori iniziali per l'equazione delle onde, anche con un termine forzante inomogeneo, per propagazione in spazio infinito, senza bordi.
Caso unidimensionale. Problema di Cauchy e soluzione (formula di d'Alembert).
Poi abbiamo considerato il metodo della funzione di Green per l'equazione delle onde in dimensione generica, per costruire una soluzione dell'equazione inomogenea. Facendo una trasformata di Fourier sulle variabili spaziali, ci siamo ridotti al problema di calcolare la funzione di Green per un'equazione differenziale ordinaria nella variabile temporale.
Abbiamo trovato la formula generale (valida in qualsiasi dimensione) per la trasformata di Fourier spaziale della funzione di Green.
Abbiamo discusso come questa forma si trasformi in espressioni con proprieta` diverse se si fa l'antitrasformata: in particolare, per D dispari >=3 la funzione di Green e` localizzata su fronti d'onda sferici che viaggiano con velocita` c .
Abbiamo commentato il caso D = 3. Abbiamo scritto la formula per la soluzione del problema inomogeneo con condizione iniziale nulla a tempo generico, che si riduce alla soluzione con il potenziale ritardato tipica dell'elettromagnetismo se si impone condizione iniziale nulla a tempo -oo.
Abbiamo poi discusso la forma della soluzione del problema di Cauchy per l'equazione delle onde omogenea in D = 3, con dati iniziali generici.
Abbiamo finito commentando le differenze tra questo caso e il caso D=2, Mentre in D=3 la funzione di Green e` localizzata sui fronti d'onda sferici, nel caso 2D la f. di Green ha supporto anche all'interno delle superfici sferiche che racchiudono.
Questo sottende un fenomeno particolare, per cui in un mondo D=2 i suoni avrebbero avrebbero durata infinita (per quanto sarebbero via via attenuati). Il rumore prolungato del tuono e` dovuto alla propagazione quasi-2D delle onde sonore che si generano intorno al fulmine.