Geometria Birazionale delle Varieta' Algebriche

Corso di Dottorato, a.a. 2013/2014, settembre-ottobre 2014, 20-24 ore.

Docente: Cinzia Casagrande.

Si tratta di un corso avanzato di geometria algebrica. Lo scopo e' di arrivare a parlare di geometria birazionale delle varieta' proiettive complesse, ma buona parte del corso sara' dedicata all'introduzione di tecniche e nozioni di base in geometria algebrica. Durante il corso verranno assegnati esercizi, il cui svolgimento e' propedeutico alla comprensione degli argomenti.

Prerequisiti: un corso introduttivo di Geometria Algebrica, come quello della Laurea Magistrale in Matematica di Torino. In particolare, saranno date per buone le nozioni di varieta' algebrica quasi-proiettiva (complessa), morfismi e applicazioni razionali, non-singolarita' e dimensione, fasci e successioni esatte di fasci. Sara' anche data per buona l'algebra multilineare (prodotti tensoriali, potenze esterne e simmetriche).

Scaletta del corso:

Introduzione al corso: di cosa parleremo, dove vogliamo arrivare.
Richiami su coomologia di fasci: coomologia di Cech, fasci coerenti, proprieta' della coomologia di fasci coerenti su varieta' algebriche complesse.
Corrispondenza tra fibrati vettoriali e fasci localmente liberi, fibrati lineari e fasci invertibili, gruppo di Picard e interpretazione coomologica tramite cocicli. Esempio: fibrati lineari su P¹ e sezioni globali.
Divisori di Weil, ordine di una funzione razionale lungo un divisore primo, divisori principali, divisori di Cartier, equivalenza lineare tra divisori. Fascio invertibile associato a un divisore di Cartier, gruppo di Picard come quoziente di Div(X) modulo il sottogruppo dei divisori principali. Esempi. Gruppo di Picard dello spazio proiettivo.
Grado di un divisore su una curva, omomorfismo indotto sul gruppo di Picard. Richiami su tori complessi e varieta' abeliane. Successione esponenziale per una varieta' proiettiva liscia, analisi della successione esatta in coomologia. Caso delle curve. Caso generale: varieta' di Picard, gruppo di Neron-Severi, numero di Picard.
Fibrato canonico, n-forme razionali, divisore canonico. Caso delle curve. Dualita' di Serre.
Piccola digressione sulla coomologia delle varieta' proiettive complesse lisce: forme di tipo (p,q), decomposizione di Hodge, numeri di Hodge e proprieta' di simmetria, conseguenze per i numeri di Betti, diamante di Hodge, esempi.
Richiami sulle mappe birazionali. Invarianza birazionale dei numeri di Hodge h^0,q. Varieta' razionali. Esempi: P¹xP¹, quadriche. Ipersuperfici cubiche e razionalita'.
Varieta' normali e normalizzazione.
Intersezione tra un divisore e una curva, 1-cicli, equivalenza numerica per divisori e 1-cicli, spazi vettoriali N¹(X) e N₁(X), cono dei divisori effettivi e delle curve effettive. Esempi.
Divisori e mappe nello spazio proiettivo. Divisori senza punti base, molto ampi e ampi. Esempi. Criterio di ampiezza di Kleiman. Richiami sulla dualita' tra coni chiusi e convessi in spazi vettoriali reali. Divisori nef, cono nef, cono ampio. 
Anelli delle sezioni. Divisori semiampi, big, dimensione di Iitaka di un divisore. Divisori con algebra delle sezioni finitamente generata.
Plurigeneri, anello canonico, dimensione di Kodaira di una varieta'. Il caso delle curve. L'anello canonico e' sempre un'algebra finitamente generata; modello canonico.
Applicazioni birazionali e scoppiamenti.
Varieta' unirigate, varieta' di tipo generale. Perche' e' speciale avere canonico nef, varieta' minimali. Caso delle curve. Caso delle superfici (overview). Contrazioni estremali, classificazione in dimensione 2.

Calendario delle lezioni

Il corso consistera' in 10-12 lezioni di due ore, due lezioni alla settimana, a settembre e nelle prime settimane di ottobre. Le ultime lezioni sono da confermare. Si pregano gli studenti che avessero problemi con l'orario di contattare il docente.

mercoledi' 3/9, 11-13, aula 2
venerdi' 5/9, 11-13, aula 2
lunedi' 8/9, 9.30-11.30, aula 2
giovedi' 11/9, 11-13, aula 2
lunedi' 15/9, 11-12.30, aula 1
giovedi' 18/9, 10.30-13, aula 3
lunedi' 22/9, 11-13, aula 1
mercoledi' 24/9, 11-13, aula 2
lunedi' 29/9, 11-13, aula C
giovedi' 2/10, 11-13, aula 1
martedi' 7/10, 9-11, aula 3
giovedi' 16/10, 9-11, aula 2
lunedi' 27/10, 11-13, aula 2

Testi di riferimento

Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, volumi 1 e 2
Hartshorne, Algebraic Geometry
Huybrechts, Complex Geometry

Debarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry
Matsuki, Introduction to the Mori Program
Lazarsfeld, Positivity in Algebraic Geometry, volumi 1 e 2

Modalita' di esame: l'esame consistera' nello svolgimento di alcuni esercizi da consegnare dopo la fine del corso, e in un seminario su un argomento concordato con lo studente.