Indice degli argomenti

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  • Note

  • Esercizi

  • Risorse per approfondimenti

  • Lezione 1 - Cosa puo` succedere nel piano complesso?


    • Illustrazione della superficie di Riemann della funzione radice quadrata di z. 

    • Risorsa
      notebook Mathematica dimostrazione tagli di funzioni analitiche File
    • Risorsa
      Illustrazione fogli di alcune funzioni polidrome File

    • Argomenti trattati:

      Introduzione: l'uso della continuazione analitica da parametri reali a complessi in alcuni problemi di fisica. 

      Principio della continuazione analitica. Alcuni teoremi sulla continuazione analitica, teorema di Liouville e altri risultati che dimostrano la rigidita` delle funzioni olomorfe. 

      Tipi di possibili singolarita` delle funzioni olomorfe, in particolare discussione dei punti di diramazione. 

      Concetto di punto di diramazione, taglio, foglio di Riemann e superficie di Riemann.

      Esempio della funzione radice quadrata e altre funzioni semplici. 

  • Lezione 2. Esempio di integrali calcolati grazie i tagli, e relazioni di dispersione di Kramers-Kronig.


    • Argomenti trattati:

      Concetto di ordine di un punto di diramazione.

      Discussione di alcune funzioni olomorfe con due punti di diramazione al finito, in cui il punto all'infinito puo` essere o meno un punto di diramazione. 

      Uso delle proprieta` delle funzioni polidrome per il calcolo dell' integrale di x^a/(1+x^2), con -1<a<1 (cammino "Pac-Man").

      Derivazione delle relazioni di Kramers-Kronig, applicazione fisica alla relazione tra dispersione e dissipazione del campo elettrico in un mezzo dielettrico nell'approssimazione lineare.  Relazione tra principi fisici (causalita`, linearita`, invarianza temporale) e proprieta` analitiche.

  • Lezione 3: introduzione alle funzioni speciali e funzione Gamma


    Il grafico mostra il valore assoluto della funzione Gamma di Eulero nel piano complesso.

    • Argomenti discussi:

      Introduzione alle funzioni speciali. 
      Funzione Gamma di Eulero: rappresentazione integrale e regione di validita` ; relazione di ricorrenza ; posizione dei poli della funzione Gamma ; relazione con il fattoriale dei numeri interi ; relazione di riflessione. 
      Il metodo di Laplace (discussione euristica) e il suo utilizzo per calcolare l'approssimazione di Stirling del fattoriale. 
      Il concetto di serie asintotica e le differenze dalle serie convergenti ordinarie (con l'esempio della serie di Stirling). 


  • Lezione 4: Zeta di Riemann

    • Valore assoluto della funzione Zeta di Riemann sulla linea critica.


    • Nella figura sono illustrate le proprieta` principali della Zeta di Riemann.


    • La funzione che conta i numeri primi. Attraverso il legame tra numeri primi e Zeta di Riemann si riesce a stabilire il comportamento per grande argomento della funzione (quindi informazione sulla distribuzione asintotica dei numeri primi). 

    • Fine discussione formula di Stirling, sue correzioni e proprieta` delle serie asintotiche. Abbiamo enfatizzato come funzioni diverse possano avere la stessa serie asintotica, e il fatto che  termini esponenzialmente piccoli siano invisibili rispetto a serie asintotiche di potenze.

      Inizio studio Zeta di Riemann; definizione come serie e come integrale, dominio di convergenza. 

      Relazione con funzione Eta di Dirichlet che permette di estendere Zeta alla striscia critica.

      Formula di riflessione che permette di estendere la Zeta a tutto il piano complesso. 

      Proprieta` analitiche, posizione del polo e degli zeri "banali" dalla formula di riflessione. 

      Ipotesi di Riemann sulla posizione degli infiniti zeri non banali.  


  • Lezione 5: fine Zeta di Riemann e funzioni ipergeometriche

    • Argomenti trattati:

      Abbiamo discusso la formula di Eulero che lega la Zeta di Riemann ai numeri primi. 

      Abbiamo discusso senza dimostrazione alcuni risultati che legano alcune funzioni discrete che "contano" i numeri primi con la distribuzione degli zeri della Zeta di Riemann (si veda la sezione approfondimenti per chi volesse esplorare ulteriormente questo argomento). 

      Funzioni ipergeometriche: loro definizione come serie, convergenza della serie. Funzioni ipergeometriche di Gauss, loro rappresentazione integrale e equazione differenziale che soddisfano: abbiamo notato come sia un'equazione differenziale con esattamente tre punti singolari, tutti fuchsiani. 

      Breve introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. 


    • Grafico che illustra la funzione ipergeometrica di Gauss 2F1 per una certa scelta di parametri. E` visibile il punto di diramazione in  z = 1 (con un taglio che lo connette a infinito per z>1). La funzione per questa scelta di parametri diverge nel punto di diramazione. Il punto z=0 e` regolare. 

  • Lezione 6: Equazioni differenziali ordinarie: metodi diretti.

    • Inizio discussione equazioni differenziali ordinarie. 

      Richiami sul teorema di esistenza e unicita`. Abbiamo visto un controesempio [y' = Sì^(1/3) ] in cui sono violate le condizioni del teorema nel punto y(0) = 0, e l'equazione ammette piu` soluzioni del problema a valori iniziali.

      Esempio di problema a valori di bordo  [y''(x) + lambda y(x) = 0 con y(0) = y(L) = 0]. Abbiamo visto come l'esistenza o meno di soluzioni non nulle dipenda da lambda: si hanno soluzioni non nulle solo per lambda = ((n Pi)/L )^2 per n intero positivo. 

      Abbiamo visto alcuni metodi diretti per la soluzione di equazioni differenziali semplici: le equazioni separabili, le equazioni in forma di differenziale esatto (metodo del potenziale), e equazioni lineari a coefficienti costanti. 

      Abbiamo iniziato a parlare di equazioni lineari a coefficienti non costanti introducendo il Wronskiano. 


    • Forma della funzione potenziale nell'esempio risolto a lezione (anche sulle note) sul metodo del differenziale esatto. 

      Forma di una particolare soluzione dell'equazione differenziale ottenuta come superficie di livello del potenziale. Si noti che la funzione y(x) ha due rami distinti. Il punto in cui y'(x) = infinito e` un punto in cui non si applicano le condizioni del teorema di esistenza e unicita`. 

  • Lezione 7: equazioni differenziali lineari omogenee e inomogenee

    • Argomenti trattati:

      Abbiamo visto un esempio di calcolo esplicito di Wronskiano per un'equazione lineare. Abbiamo notato come il Wronskiano si annulli in un punto. Un problema alle condizioni iniziali in quel punto non e` ben definito. 

      Abbiamo discusso  il metodo di variazione delle costanti per generare nuove soluzioni di un'equazione lineare a partire da soluzioni note.

      Abbiamo poi discusso equazioni inomogenee. Abbiamo visto il metodo della funzione di Green per costruire soluzioni particolari dell'equazione inomogenea a partire da una base completa di soluzioni del problema omogeneo. 

      Abbiamo trattato il caso del calcolo della funzione di Green in un problema di equazione differenziale di ordine 1. 

  • Lezione 8 - Metodo della funzione di Green e problemi di bordo.

    • (PARTE DI QUESTO ARGOMENTO NON E` PRESENTE SULLE NOTE DELLO SCORSO ANNO - VERRANNO AGGIORNATE AL PIU` PRESTO).

      Abbiamo calcolato la funzione di Green per un problema ai valori iniziali per un'equazione del second ordine.

      Abbiamo discusso proprieta` generali dei problemi con condizioni di bordo regolari, in particolare il seguente "teorema dell'alternativa":  un problema alle condizioni di bordo omogeneo ha solo la soluzione banale, se e solo se ogni problema problema inomogeneo associato ammette una e una sola soluzione. 

      Abbiamo osservato come le condizioni del teorema sono equivalenti al fatto che la matrice costruita con le condizioni di bordo valutate su una base di soluzioni abbia determinante non nullo.

      Abbiamo illustrato il calcolo della funzione di Green per due problemi di bordo, uno definito su un intervallo e uno (un caso limite) sulla retta reale. 

      (Le note su questa parte verranno aggiornate al piu` presto).

  • Lezione 9 - Metodi di espansione in serie nella variabile.

    • Abbiamo descritto metodi di risoluzione o analisi di un'equazione differenziale ordinaria lineare di ordine 2 tramite espansione in serie nella variabile. 

      Abbiamo distinto punti regolari, singolarita` fuchsiane e singolarita` irregolari, spiegando come costruire una base di due soluzioni intorno  a un punto regolare, o una singolarita` fuchsiana, tramite una serie convergente. 

      Per le singolarita` fuchsiane in particolare abbiamo riepilogato come ottenere l'equazione indiciale. 

      Abbiamo visto esplicitamente l'esempio della soluzione per serie dell'equazione di Airy, che ci ha permesso di scrivere la soluzione come sovrapposizione di due funzioni ipergeometriche calcolando esplicitamente i coefficienti delle serie. 

      Abbiamo riepilogato come classificare il comportamento del punto all'infinito, e notato che si tratta di una singolarita` irregolare per l'equazione di Airy. Nella prossima lezione capiremo come ottenere il comportamento asintotico in questo punto. 


    • Grafico delle due funzioni di Airy, soluzioni indipendenti dell'equazione y''(x) = x y(x). 

  • Lezione 10 - Sviluppo intorno a punti irregolari: il metodo dell'equilibrio dominante

    • Abbiamo discusso il metodo dell'equilibrio dominante per comprendere il comportamento delle soluzioni di un'equazione differenziale (lineare omogenea, negli esempi visti) intorno a una singolarita` irregolare. 

      Come primo esempio abbiamo visto come dedurre i due possibili comportamenti delle soluzioni dell'equazione di Airy y''(x) = x y(x) per x->+ infinito. 

      Nel caso dell'equazione di Airy, l'equilibrio dominante a infinito e` dato da (S')^2 ~ x , con |S''|<< (S')^2, dove S(x) = Log[ y(x) ]. Abbiamo visto come verificare che altre possibili ipotesi per l'equilibrio dominante portano (in questa equazione, in questo limite) a delle inconsistenze.

      Abbiamo visto cosa cambia espandendo invece per x -> - infinito. 

      Abbiamo visto come calcolare successivi ordini sottodominanti dell'espansione di S(x) = Log[y(x) ], iterando il metodo. Abbiamo discusso come sia necessario calcolare l'espansione di S(x) fino a quando non si trovino termini asintoticamente piccoli, per poter fissare il "fattore di controllo" del comportamento asintotico di y(x). Ad esempio, nel caso dell'equazione di Airy a x_>+oo, e` necessario calcolare S(x) ~ +- 2/3 x^(3/2) -1/4 Log[x] + O(x^(-3/2) ), in modo da poter concludere che y(x) ~ exp( +- 2/3 x^(3/2) )/x^(1/4) .

      Abbiamo notato come, per espansione intorno a punti fuchsiani (o punti che siano legati a punti fuchsiani da un cambio di variabile), si abbia, come ordine di grandezza, un tipico equilibrio dominante, della forma (S')^2 ~ S'', che implica un andamento logaritmico per S(x) nel punto in questione. 

      Abbiamo poi discusso un esempio di equazione che presenta due equilibri dominanti ancora diversi. Questo secondo esempio e` costituito dall'equazione x^2 y''(x) + (1+ 3 x) y'(x) +y(x) = 0, di cui abbiamo studiato l'espansione  per x->0^+.  In questo caso, ci sono due scelte indipendenti, entrambe consistenti, di equilibrio dominante. Definendo S(x) = Log[y(x)], nel primo caso S' ~ 1 , che porta a una soluzione data da una serie in potenze di x, y(x) ~ 1 - x + ....  (serie asintotica, non convergente). Nel secondo caso x^2 (S')^2 ~-S' , che porta a una soluzione con andamento y(x) = exp[ 1/x ]/x (1 + ....)

  • Lezione 11 - Introduzione ai metodi perturbativi. Perturbazioni regolari vs boundary layers

    • (PARTE DI QUESTO ARGOMENTO NON E` PRESENTE SULLE NOTE DELLO SCORSO ANNO - VERRANNO AGGIORNATE AL PIU` PRESTO).

      Abbiamo iniziato a discutere metodi perturbativi per equazioni differenziali che contengano un parametro piccolo (che chiameremo epsilon).

      Abbiamo visto un esempio di costruzione di serie perturbativa per risolvere l'equazione y''(x) = epsilon f[x] y(x) con una condizione iniziale in x = 0. Abbiamo considerato esplicitamente il caso f[x] = x.   (cosi` che per epsilon = 1 si ritrova l'eq. di Airy) ,  ma il metodo funziona per qualunque f[x] continua su un certo intervallo finito. 

      Questo e` un esempio di espansione perturbativa regolare se guardiamo la soluzione su un intervallo finito. La serie in potenze epsilon converge piu` rapidamente (nel caso di Airy, due volte piu` rapidamente) di un'espansione perturbativa della stessa equazione costruita espandendo nella variabile x. 

      Abbiamo poi discusso come in molti problemi si trovino invece esempi di teoria delle perturbazioni singolare. Il caso tipico e` quando il parametro di espansione moltiplica il termine con la derivata piu` ampia. 

      Abbiamo discusso come in molti esempi di perturbazioni singolari, il comportamento per epsilon = 0 sia qualitativamente diverso da quello per epsilon diverso da zero, per quanto epsilon sia piccolo. Tipicamente, per epsilon piccolo ma non nullo, si formano regioni di rapida variazione della soluzione, in cui la soluzione perturbativa costruita nel modo standard non si applica. 

      Un tipico esempio di questo fenomeno e` quello dei "boundary layers" (anche noti come "strati limite"): regioni di rapida variazione della soluzione, la cui larghezza tende a zero per epsilon tendente a zero. Abbiamo considerato l'esempio dell'equazione

      epsilon y''(x) + (1 + epsilon) y'(x) + y(x) = 0 ,      con condizioni di bordo y(0) = 0 e y(1) = 1 ,

      per studiare come trattare problemi con boundary layers. In questo caso, si forma un boundary layer la cui larghezza scala come epsilon intorno  al punto x = 0. 

      Abbiamo costruito due termini di un'espanzione perturbativa "esterna" valida per x finito e epsilon piccolo, e due termini di un'espansione perturbativa alternativa, "interna", che vale per x = epsilon X , con X finito, cioe` "dentro" al boundary layer. 

      Abbiamo poi visto come bisogni considerare una regione intermedia tra i due regimi precedenti per "incollare" le due espansioni perturbative interna e esterna, fissando i parametri liberi.

      Come riprenderemo durante la prossima lezione, questa tecnica di incollare le due espansioni interna ed esterna permette di costruire un'approssimazione globale, valida uniformemente per qualunque x per epsilon piccolo. 

  • Esempi di prove d'esame passate