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• NOTES: LAST VERSION (complete)
  • Here is collected the latest version of the notes (sometimes, with integrations and corrections!) for all the contents of the course. 
    

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    NOTES part1: Special functions Archivo
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    NOTES part 2 : ODE Archivo
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    NOTES part 3: 1st order PDEs Archivo
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    NOTES part 4: 2nd order PDEs, wave equation and eigenfunction method Archivo
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    NOTES Part 5: Heat Equation (CORRECTED!) Archivo
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    NOTES part 6: Laplace equation Archivo
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    NOTES part 7: Burgers equation II. Archivo
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    NOTES part 8: Complements of complex analysis Archivo
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    information on the exam (small update) Archivo
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    ERRATA Archivo

• Esercizi
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    Esame Giugno 2023 Archivo
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    Exam_January_2023 Archivo
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    Exam_Example_English Archivo
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    Esame_Esempio_Italiano Archivo
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    Solutions_Example_Exam Archivo
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    Useful Equations (UPDATED) Archivo
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    Exercises_PDE_2nd_order_SOLUTIONS Archivo
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    Exercises_PDE_1st_order_with_SOLUTIONS Archivo
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    Exercises_ODEs_first_part Archivo
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    Exercises_ODEs_second_part_(with some corrections) Archivo
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    Esercizi PDE 2nd ordine - just questions Archivo
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    Esercizi_PDE_1st_order_just questions Archivo

    Some modifications to a couple of questions

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    Esercizi discussi in esercitazione 7 Archivo

• Risorse
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    Simulatore online equazione onde URL

    Un simulatore online dell'equazione delle onde in 1D. Si puo` sperimentare con le condizioni iniziali per il campo e la sua velocita` per osservare come si propagano diversamente questi due tipi di dati iniziali. 

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    Simulatore online equazione calore URL

    Simulatore online equazione calore. Sperimentando con i dati iniziali si puo` notare come anche dati iniziali  irregolari, diventano istantaneamente differenziabili. Notare gli effetti diversi delle condizioni di contorno di Dirichlet e Neumann sulla soluzione di equilibrio raggiunta a tempi grandi. 

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    Video su comportamento equazione KdV e solitoni (discussi nella lezione 21). URL

    Video sull'evoluzione equazione KdV con profilo iniziale cos(x) e condizioni di bordo periodiche. Si noti come nei primi istanti la soluzione evolve in modo simile all'equazione di Burgers inviscida, fino quasi a formare un fronte di shock. La soluzione pero` rimane a un sol valore, e si decompone in una sequenza di solitoni, che dominano la dinamica successiva. I solitoni interagiscono elasticamente e il loro numero non cambia. 

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    Digital Library of Mathematical Functions URL

    Libreria di funzioni speciali

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    Wolfram Functions Site URL

    Altra libreria di funzioni speciali

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    Vibrations of membrane: wikipedia page with visualisation of different modes URL

• Introduzione alle funzioni speciali. Lezione 1.
  • Argomenti trattati: introduzione alle funzioni speciali. Funzione Gamma di Eulero e principali proprieta` Relazione con il fattoriale e formula di Stirling. Il concetto di espansione asintotica. Inizio della derivazione della formula di Stirling. 

    
    

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    Note 1. Introduzione e funzione Gamma. Archivo
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    Optional reading: why are special functions special? Archivo
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    Registrazione lezione 1 (Attenzione: purtroppo e` risultata una bassa qualita` video, si cerchera` di risolvere per le prossime lezioni) URL
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    Esercizi Archivo

• Lezione 2.
  • Fine dimostrazione formula Stirling (termine leading). Discussione con un esempio  di funzione "invisibile" a sviluppo asintotico. Funzione Beta di Eulero e relazione con Gamma. Funzioni Poligamma. Funzione Zeta di Riemann e principali proprieta`, fino alla formula di riflessione. 

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    Note 2. Fine funzione Gamma. Funzione Zeta. Archivo
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    File della lavagna elettronica a lezione. (Si consiglia di consultare soprattutto le note nel file precedente) Archivo
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    Registrazione lezione 2 URL

• Lezione 3.
  • Fine funzione Zeta di Riemann. Funzioni Polilogaritmi. Funzioni Ipergeometriche definite come serie. 

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    Registrazione lezione 3 URL
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    Note 3 . Zeta, PoliLogaritmi e Ipergeometriche. Archivo

• Lezione 4. Equazioni differenziali ordinarie, alcuni metodi analitici.
  • Definizione di equazione differenziale lineare e proprieta`. Metodo di variazione delle costanti per trovare nuove soluzioni, e costruire soluzioni particolare dell'equazione inomogenea, visto in dettaglio nel caso di equazioni di ordine 1 e 2. Alcuni metodi per equazioni nonlineari: metodo del potenziale e metodo per equazioni separabili. 
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    Registrazione lezione 4 URL
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    Note lezione 4. ODE: metodi analitici diretti. Archivo

• Lezione 5. ODE lineari 2nd ordine. Soluzione per serie e studio punti singolari.
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    Registrazione lezione 5. URL
  • Equazioni lineari del 2nd ordine con coefficienti p(z), q(z) analitici. Classificazione dei punti regolari o singolari per l'equazione (per punti al finito o all'infinito). Esempio soluzione per serie in punto regolare, per l'equazione di Airy. Soluzione intorno a singolarita` fuchsiane. 

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    Note lezione 5: punti regolari e singolari fuchsiani per ODE lineari. Archivo

• Lezione 6. Il metodo di Papperitz-Riemann.
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    Registrazione lezione 6 URL
  • Forma di equazione con tre punti singolari tutti fuchsiani. Abbiamo descritto il metodo di Papperitz Riemann per risolverla in termine di ipergeometriche. Proprieta` della P{} di Papperitz-Riemann. Abbiamo iniziato un esercizio (lo carichero` al piu` presto in Pdf, insieme alle note delle ultime due lezioni), che finiremo di discutere mercoledi`. 

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    Note lezione 6. Equazione di Papperitz-Riemann. Archivo
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    Esercizi (che verranno discussi mercoledi`) Archivo

• Lezione 7. Esercitazione su ODE in campo complesso e P di Papperitz-Riemann
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    Registrazione 7 URL
  • Abbiamo svolto alcuni esercizi su analisi punti singolari di ODE, e (quando applicabile) loro soluzione con il metodo di Papperitz-Riemann. Come esercizio abbiamo anche ricavato per serie l'espansione intorno a punto fuchsiano per l'equazione di Bessel.  La soluzione scritta degli esercizi sara` caricata nei prossimi giorni. 

    
    

• Lezione 8. Cenni su metodi perturbativi in ODE e inizio PDE.
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    Registrazione lezione 8. URL
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    Note: cenni su metodi perturbativi Archivo
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    Note_inizio_PDE Archivo

• Lezione 9. Inizio metodo delle curve caratteristiche.
  • Metodo delle curve caratteristiche: il caso delle equazioni lineari e inizio discussione equazioni quasi-lineari. Soluzione equazione del trasporto con termine inomogeneo. 

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    Note 9. Metodo delle caratteristiche Archivo
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    Registrazione lezione 9 URL

• Lezione 10. Metodo delle caratteristiche e equazione di Burgers inviscida
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    Registrazione lezione 10 URL
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    Note lezione 10 - parte 1 Archivo
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    Lezione 10 part 2 - NEW- inviscid Burgers equation Archivo
  • Abbiamo descritto il metodo delle caratteristiche per equazioni lineari, il problema delle condizioni iniziali (problema di Cauchy), e le condizioni per la sua soluzione, con alcuni esempi. Nella seconda parte abbiamo discusso l'equazione di Burgers senza viscosita`: la soluzione implicita, e il fenomeno di formazione di uno shock, calcolando il tempo di formazione dello shock. 
    

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    Burgers_equation_Mathematica_code Archivo

    File to show how one can use the characteristic curves to plot the solution, even when multi-valued. It is hopefully intuitive, even if you do not know the program Mathematica (which is not required). 

• Lezione 11. Metodo caratteristiche per eq. nonlineari. PDE 2nd ordine. Inizio equazione delle onde.
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    Registrazione lezione 11 URL
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    NEW_Note_Caratteristiche_caso_nonlineare_e_Forme_Canoniche Archivo
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    Note_equazione_onde_parte_1 Archivo
  • Metodo delle caratteristiche per eq. nonlineari. Esempio dell'equazione eikonale. PDE lineari second'ordine, classificazione e forme canoniche. Equazione delle onde: soluzione problema di Cauchy sulla linea infinita (formula di d'Alembert).  
    

• Lezione 12. Equazione delle onde. Problemi di bordo.
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    Registrazione lezione 12 URL
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    Note_Eq_onde_2_Metodo_immagini Archivo
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    Note_metodo_Fourier_1D Archivo
  • Problemi di bordo. Tipi di condizioni di bordo: Dirichlet, Neumann e Robin. Soluzione con metodo delle immagini  per problemi di condizioni di bordo omogenee (con campo = 0 o derivata spaziale =0 al bordo). Inizio discussione metodi di decomposizione in serie di Fourier. 
    

• Lezione 13. Metodo di Fourier per problemi di bordo non omogenei.
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    Registrazione lezione 13. URL
  • Abbiamo discussi i tipi di decomposizione di Fourier per problemi con vari tipi di condizioni di bordo omogenee (Dirichlet-Dirichlet, Neumann-Neumann, Dirichlet-Neumann, Neumann-Dirichlet). Abbiamo discusso come risolvere problemi con condizioni di bordo non omogenee, anche dipendenti dal tempo, e problemi con un termine non omogeneo nell'equazione delle onde. Come esempio di quest'ultimo abbiamo discusso il fenomeno della risonanza. 

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    Note problemi non omogenei Archivo

• Lezione 14. Metodo delle autofunzioni per PDE in dimensione piu` alta.
  • Continuando a discutere l'equazione delle onde, abbiamo trattato metodi per il caso in dimensione D>1. Metodo delle serie di Fourier multiple per dominio rettangolare. Metodo dello sviluppo in autofunzioni per problemi di bordo su dominio di forma generica. Abbiamo iniziato a discutere il caso di autofunzioni dell'operatore di Laplace su dominio circolare e il ruolo delle funzioni di Bessel in questo problema. 

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    Registrazione lezione 14 URL
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    Note metodo autofunzioni in D>1, part 1, CORRECTED Archivo

• Lezione 15. Fine metodo autofunzioni e inizio equazone calore.
  • Fine descrizione autofunzioni dell'eq. Helmholtz su dominio circolare in 2D o sferico in 3D. Formule di Kirchoff per soluzione del problema alle condizioni iniziali eq. delle onde in D=2 e D=3 (in spazio infinito). Inizio equazione del calore: derivazione fisica dell'equazione, e soluzione del problema di Cauchy in D=1.

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    Registrazione lezione 15 URL
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    Metodo autofunzioni in D>1, file completo Archivo

• Lezione 16. Equazione del calore parte seconda.
  • Abbiamo continuato a discutere l'equazione del calore. Metodo di soluzione del problema di Cauchy su spazio infinito in dimensione generica. Soluzione equazione inomogenea usando la funzione di Green. Soluzione di problemi su intervalli finiti con il metodo di Fourier (lo stesso metodo visto in precedenza per equazione delle onde).  Abbiamo discusso il concetto di problema matematicamente "ben posto" e quali siano i problemi di questo tipo per l'equazione delle onde e del calore, e discusso il "principio di massimo/minimo" per l'equazione del calore. 
    

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    Registrazione lezione 16 URL
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    Eq_calore_parte_1 Archivo
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    Examples_solutions_with_Fourier_method Archivo
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    Note_eq_calore_complete Archivo

• Lezione 17. Equazione di Laplace/Poisson
  • Discussione equazione di Laplace/Poisson. Applicazioni fisiche. Legame dell'equazione in due dimensioni con la teoria delle funzioni complesse analitiche. Instabilita` del problema delle condizioni iniziali per eq. Laplace. Proprieta` delle funzioni armoniche: regolarita`, principio della media sferica e principio del massimo/minimo. Inizio discussione funzioni di Green. Derivazione funzioni di Green per lo spazio infinito in due e tre dimensioni spaziali. 

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    Registrazione lezione 17. URL
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    Laplace1 Archivo

• Lezione 18. Equazione di Laplace/Poisson parte 2
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    Registrazione lezione 18 URL
  • Metodo della funzione di Green per risolvere il problema di Dirichlet in domini generici. Abbiamo derivato la funzione di Green nel caso di spazio semi-infinito e discusso il caso del disco in 2D (entrambi con il metodo delle immagini). Discussione del metodo della mappa conforme per risolvere il problema di Dirichlet su domini semplicemente connessi in 2D di forma arbitraria. Discussione metodo autofunzioni nel caso di dominio rettangolare. 
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    NOTE Laplace/Poisson COMPLETE Archivo

• Lezione 19 - Esercitazione
  • Abbiamo discusso gli esercizi 3,6,7,8 sulle PDE del 2nd ordine.

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    Registrazione URL

• Lezione 20 - Equazione di Burgers: shock e caso con viscosita`
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    Registrazione lezione 20 URL
  • Abbiamo discusso altri aspetti dell'equazione di Burgers: nel caso senza viscosita`  il modo di costruire soluzioni a un valore dopo la formazione di uno shock, l'interpretazione come legge di conservazione e la velocita` di propagazione di uno shock (equazione di Rankine-Hugoniot). Abbiamo poi discusso l'introduzione della viscosita`, la soluzione del caso con viscosita` attraverso la mappa sull'equazione del calore, e come studiare il limite di piccola viscosita` attraverso il metodo del punto a sella. Abbiamo fatto un parallelo tra equazione di Burgers senza viscosita` e equazioni di Eulero, e equazione di Burgers con viscosita` e equazioni di Navier-Stokes. 

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    Note Burgers equation with viscosity Archivo

• Lezione 21 - Cenni su equazione KdV, e Complementi di analisi complessa parte 1 .
  • Cenni sull'equazione di Korteweg-de Vries e i solitoni. Inizio discussione di alcuni argomenti di analisi complessa.  Principio di continuazione analitica e alcuni teoremi connessi. Tipi di singolarita` delle funzioni analitiche. Concetto di punto di diramazione, taglio (branch cut), e foglio di Riemann. 

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    Registrazione lezione 21 URL
  • The notes are all together with Lecture 23

• Lezione 22 - Esercitazione metodo caratteristiche
  • Abbiamo discusso gli esercizi 4, 8 e 10 del file sulle PDE del prim' ordine. Attenzione: nella discussione sul calcolo del tempo di formazione della singolarita` negli ultimi minuti una delle equazioni scritte alla lavagna e` stata semplificata in modo non corretto. Aggiungero` le note con il calcolo corretto del tempo di formazione della singolarita` nel problema 10.  

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    Registrazione URL

• Lezione 23. Complementi di analisi complessa 2.
  • Abbiamo discusso la struttura di tagli di alcune funzioni polidrome con due punti di diramazione. Abbiamo visto un un esempio di metodo per calcolare integrali su segmento sfruttando le proprieta` delle funzioni polidrome.  Infine abbiamo discusso le relazioni di dispersione di Kramers-Kronig. 

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    Registrazione lezione 23 URL
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    Notes complex analysis complements Archivo

• Lezione 24. Esercitazione.
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    Registrazione URL
  • Consigli per prepararsi all'esame e svolgimento di alcuni esercizi: es. n. 10 sulle  ODE (metodo del potenziale), un esercizio su metodo Papperitz-Riemann, esercizio su eq. Laplace su rettangolo con condizioni di bordo di Neumann, e discussione di soluzione di Laplace su disco o domini simili con metodo autofunzioni in coordinate polari.