MODELLI MATEMATICI DELLA FISICA CLASSICA
Indice degli argomenti
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Spazi vettoriali di dimensione finita: basi e basi duali, cambiamenti di basi, orientazioni, applicazioni lineari fra spazi vettoriali, applicazioni multilineari fra spazi vettoriali, prodotti tensoriali di spazi vettoriali. Proprietà del prodotto tensoriale.
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Appunti di algebra lineare, multilineare e tensori (parte 1)
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Basi nei prodotti tensoriali di spazi vettoriali. Applicazioni multilineari simmetriche o antisimmetriche. Tensori simmetrici o antisimmetrici su uno spazio vettoriale.
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Appunti di algebra lineare, multilineare e tensori (parte 2)
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Prodotto esterno e prodotto simmetrico. Prodotto interno di un vettore con un tensore covariante.
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Appunti di algebra lineare, multilineare e tensori (parte 3)
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Determinanti, simboli di Levi–Civita e delta di Kronecker generalizzate. Prodotti scalari, operatori bemolle e diesis. Dualità di Hodge.
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Appunti di algebra lineare, multilineare e tensori (parte 4)
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Algebra esterna di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Algebre di Lie di dimensione finita con esempi. Costanti di struttura. Esempi di algebre di Lie di dimensione 1, 2 e 3. Quaternioni. Ottonioni.
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Appunti di algebra lineare, multilineare e tensori (parte 5)
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Spazi vettoriali topologici di dimensione finita. Funzioni derivabili (secondo Fréchet). Derivate direzionali. Derivate seconde. Derivate di ordine superiore. Sviluppo in serie di Taylor. Funzioni derivabili infinite volte e funzioni analitiche. Derivate parziali. Teorema della funzione inversa.
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Appunti di calcolo differenziale (parte 1)
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Teorema della funzione implicita. Teorema del rango. Spazi tangenti, mappe tangenti, fibrati tangenti. Mappe tangenti di ordine superiore. Campi di vettori su un aperto di uno spazio affine.
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Appunti di calcolo differenziale (parte 2)
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Curve integrali, flusso, integrali primi. Immagini di campi di vettori. Spazio cotangente in un punto di un aperto di uno spazio affine, fibrato cotangente, campi di tensori covarianti (1-forme differenziali), controimmagini di 1-forme.
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Appunti di calcolo differenziale (parte 3)
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Differenziale esterno di 0-forme (funzioni reali), forme differenziali.
Sistemi di coordinate cartesiane su uno spazio affine. Sistemi di coordinate locali su aperti di spazi affini. Sottovarietà (di classe $C^\infty$) di uno spazio affine.
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Appunti di calcolo differenziale (parte 4)
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Esempi di sottovarietà: cerchio $S^1$, sfera $S^2$ e sfera $S^3$. Definizione di struttura di varietà su spazi topologici. Definizione di struttura di varietà su insiemi. Esempi di varietà. Sottovarietà, codimensione e dimensione.
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Appunti di calcolo differenziale (parte 5)
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Varietà differenziabili (parte 1)
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Spazio vettoriale tangente in un punto, mappa tangente di una funzione in un punto, rango di una funzione in un punto. Fibrato tangente di una varietà e mappe tangenti di funzioni. Proiezioni e varietà fibrate. Prodotti cartesiani di varietà differenziabili. Prodotti cartesiani di varietà fibrate. Fibrato tangente di una varietà differenziabile. Controimmagine di una varietà fibrata. Prodotti cartesiani fibrati di varietà fibrate.
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Varietà differenziabili (parte 2)
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Sezioni locali e globali di varietà fibrate. Morfismi di varietà fibrate. Fibrati differenziabili. Trivializzazioni locali. Costruzione del fibrato a partire da trivializzazioni locali. Fibrati vettoriali ed operazioni su di essi. Campi di vettori su varietà: rappresentazioni locali con coordinate, curve integrali. Vettori tangenti e campi di vettori tangenti a varietà fibrate, campi verticali, campi proiettabili. Fibrato cotangente. Campi di covettori, controimagini. Fibrati di tensori covarianti.
*** MANCA LA REGISTRAZIONE DELLA LEZIONE ***
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Varietà differenziabili (parte 3)
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Campi di tensori covarianti, prodotto tensoriale di campi di tensori covarianti. Campi di tensori covarianti simmetrici, prodotto simmetrico di campi di tensori covarianti simmetrici. Forme differenziali, prodotto esterno di forme differenziali, differenziale esterno, forme chiuse e forme esatte, esempi di differenziali di forme differenziali. Forme orizzontali su varietà fibrate. Connessioni su varietà fibrate.
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Varietà differenziabili (parte 4)
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Sollevamento orizzontale di campi di vettori e derivata covariante di sezioni. Trasporto parallelo. Curvatura di connessioni su varietà fibrate. Connessioni lineari su fibrati vettoriali, curvatura, connessione indotta sul fibrato duale e sui fibrati tensoriali del fibrato vettoriale. Connessioni lineari sul fibrato tangente di una varietà, torsione, derivate covarianti di campi di tensori. Connessioni lineari compatibili con metriche. Curvatura di connessioni lineari sul fibrato tangente di una varietà: tensore di curvatura, identità di Bianchi algebriche e differenziali, tensore di curvatura di omotetia, tensore di Ricci, curvatura scalare di Ricci.
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Varietà differenziabili (parte 5)
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Derivate di Lie di campi di tensori. Derivate di Lie di forme differenziali. Omotopie di funzioni e formula di omotopia. Basi anolonome. Gruppi di Lie. Esempi di gruppi di Lie abeliani e di gruppi di Lie non abeliani. Moltiplicazioni a destra ed a sinistra.
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Varietà differenziabili (parte 6)
Gruppi di Lie e fibrati principali (parte 1)
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Moltiplicazioni a destra, a sinistra, mappa aggiunta, mappa tangente delle moltiplicazioni a sinistra e delle moltiplicazioni a destra, mappa tangente dell’inversione su $GL(n; R)$.
Campi di vettori invarianti per moltiplicazioni a sinistra, algebra di Lie di un gruppo di Lie. Costanti di struttura dell’algebra di Lie $XL(G)$. Curve integrali dei campi di vettori invarianti per moltiplicazioni a sinistra. Esempi sul gruppo di Lie $GL(n; R)$.
Campi di vettori invarianti per moltiplicazioni a destra. Commutatori fra campi di $XL(G)$ e campi di $XR(G)$. Costanti di struttura dell’algebra di Lie $XR(G)$. Curve integrali dei campi di vettori invarianti per moltiplicazioni a destra. Esempi sul gruppo di Lie $GL(n; R)$.
1-Forme invarianti per moltiplicazioni a sinistra. 1–forme invarianti a sinistra per sottogruppi di Lie. Formula di Maurer–Cartan per le basi duali per le 1-forme invarianti per moltiplicazioni a sinistra. Esempi: 1–forme invarianti per moltiplicazioni a sinistra $GL(n; R)$ e sul sottogruppo $SO(3,R)$.
1-Forme invarianti per moltiplicazioni a destra. 1–forme invarianti a destra per sottogruppi di Lie. Formula di Maurer–Cartan per le basi duali per le 1-forme invarianti per moltiplicazioni a destra. Esempi: 1–forme invarianti per moltiplicazioni a destra $GL(n; R)$ e sul sottogruppo $SO(3,R)$.
Azioni a sinistra di gruppi di Lie su varietà. Azione naturale a sinistra di $GL(n; R)$ su $R^n$. Azione naturale a sinistra di $GL(n; R)$ su $R^n \times (R^m)^*$. Azioni a destra di gruppi di Lie su varietà. Azione naturale a destra di $GL(n; R)$ su $(R^n)^*$. Azione naturale a destra di $GL(m; R)$ su $R^n \times (R^m)^*$. Spazi delle orbite e stabilizzatori.
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Gruppi di Lie e fibrati principali (parte 2)
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Azioni sui quozienti di gruppi rispetto a sottogruppi. Fibrati principali, sezioni locali. Il fibrato delle basi L(M). Esempi di fibrati principali di Hopf di sfere. Campi di vettori invarianti sui fibrati principali. Campi di vettori invarianti su L(M). 1–forme invarianti sui fibrati principali, 1–forme invarianti su L(M). Connessioni principali sui fibrati principali, curvatura. Connessioni principali sui fibrati L(M), curvatura. Fibrati associati a fibrati principali con esempi.
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Gruppi di Lie e fibrati principali (parte 3)
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Altri esempi di fibrati associati. Densità scalari e densità tensoriali. Connessioni indotte sui fibrati associati con esempi.
Getti di ordine k di funzioni da $R^m$ a $R^n$. “Coordinate fibrate naturali simmetriche” e coordinate fibrate naturali sui fibrati $J^k(R^m;R^n)$. Differenziali di funzioni sui fibrati $J^k(R^m;R^n)$.
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Gruppi di Lie e fibrati principali (parte 4)
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Spazi di getti (parte 1)
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Composizioni di getti con esempi. Gruppi $G^k_m(R)$ con esempi. Getti di ordine $k$ di funzioni fra varietà. Struttura di varietà e di fibrato su $J^k(M;N)$. Prolungamenti di ordine $k$ di varietà fibrate e delle loro sezioni. Prolungamenti di ordine infinito di varietà fibrate e delle loro sezioni.
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Spazi di getti (parte 2)
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Forme di contatto. Coordinate fibrate naturali su $J^1(Z)$ e su $J^k(Z)$. Differenziale orizzontale, derivate parziali formali e differenziale verticale di funzioni e forme differenziali (omogenee). Prolungamenti del prim’ordine e del second'ordine di campi di vettori. Prolungamenti di funzioni e morfismi fra varietà fibrate. Prolungamenti di fibrati vettoriali e di fibrati affini. Connessioni lineari su varietà come sezioni del fibrato $J^1(L(M))/GL(m;R)$.
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Spazi di getti (parte 3)
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Connessioni principali come sezioni di $J^1P/G$. Fibrati delle basi di ordine superiore. Connessioni lineari su varietà come oggetti del second’ordine. Sollevamenti di campi di vettori a $L^k(M)$. Derivata di Lie di connessioni lineari su una varietà. Integrazione di forme differenziali, teorema di Stokes.
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Spazi di getti (parte 4)
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Calcolo delle variazioni (parte 1)
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Lagrangiane del prim’ordine: variazione, equazioni di Eulero–Lagrange, forma di Poincaré–Cartan. Lagrangiane del second’ordine: variazione, equazioni di Eulero–Lagrange, forme di Poincaré–Cartan. Lagrangiane del terz’ordine: variazione, equazioni di Eulero–Lagrange, forme di Poincaré–Cartan.
Formalismo vettoriale tridimensionale per le equazioni di Maxwell. Campo elettrico e induzione magnetica, primo sistema di equazioni di Maxwell, potenziale vettore e potenziale scalare del campo elettromagnetico, lagrangiana per il moto di una particella puntiforme carica. Campo magnetico, spostamento elettrico, densità di carica e densità di corrente; secondo sistema di equazioni di Maxwell, relazioni costitutive. Equazioni del campo elettromagnetico, gauge di Lorentz, potenziali di Liénard–Wichert. Principio variazionale per le equazioni del campo elettromagnetico.
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Calcolo delle variazioni (parte 2)
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Descrizione del campo elettromagnetico con forme differenziali tridimensionali. Descrizione del campo elettromagnetico con forme differenziali quadridimensionali. Formalismo tensoriale quadridimensionale.
Lagrangiana covariante del second’ordine di Hilbert. Metodo di Palatini. Variazione della lagrangiana gravitazionale di Hilbert. Variazione della lagrangiana completa di Hilbert. Lagrangiana non covariante del prim’ordine di Einstein. Variazione della lagrangiana gravitazionale di Einstein. Variazione della lagrangiana completa di Einstein. Forma di Poincaré–Cartan per le lagrangiane di Einstein e di Hilbert. Lagrangiane materiali: lagrangiana materiale per la costante cosmologica, lagrangiana materiale per campi scalari (Klein–Gordon), lagrangiana materiale per il campo di Maxwell, lagrangiana materiale per il campo di Proca–Yukawa, lagrangiana materiale per elettromagnetismo e campi scalari carichi.
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Appunti sulle equazioni di Maxwell (parte 2)
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Appunti sulle equazioni di Einstein
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Sistemi lagrangiani in Meccanica Analitica. Teorema di Noether per i sistemi lagrangiani in Meccanica Analitica. Trasformata di Legendre e sistemi hamiltoniani.
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Sistemi Lagrangiani
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Teorema di Noether
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Sistemi Hamiltoniani
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